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已知函数f(x)=ax3+x2-ax(a,x∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,试求a的取值或取值范围;
(3)设函数h(x)=
1
3
f′(x)+(2a+
1
3
)x-
8
3
a+1
,x∈(-1,b],(b>-1),如果存在a∈(-∞,-1],对任意x∈(-1,b]都有h(x)≥0成立,试求b的最大值.
分析:(1)求导数,确定函数的单调性,可得函数的极值;
(2)若f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,则f'(x)在区间[0,+∞)内恒大于或等于零,由此可求a的取值;
(3)存在a∈(-∞,-1],对任意x∈(-1,b](b>-1)都有h(x)≥0成立,等价于h(x)≥h(-1)在区间[-1,b]上恒成立,即(x+1)[ax2+(2a+1)x+(1-3a)]≥0,进而分类讨论,即可求得结论.
解答:解:(1)当a=1时,f(x)=x3+x2-x,∴f′(x)=3x2+2x-1,
令f′(x)=0,则x1=
1
3
,x2=-1,…(2分)
x、f′(x)和f(x)的变化情况如下表
x (-∞,-1) -1 (-1,
1
3
)
1
3
(
1
3
,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值f(-1)=1 极小值f(
1
3
)=-
5
27
即函数的极大值为1,极小值为-
5
27
;                       …(5分)
(2)f'(x)=3ax2+2x-a,
若f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,则f'(x)在区间[0,+∞)内恒大于或等于零,
若a<0,二次函数图象开口向下,不可能在[0,+∞)上单调递增;
若a=0,则f(x)=x2符合条件;
若a>0,则由二次函数f'(x)=3ax2+2x-a的性质知
-
2
3a
<0
f(0)=-a>0
,即
a>0
a<0
,这也不可能,
综上可知,当且仅当a=0时,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;     …(10分)
(3)由f'(x)=3ax2+2x-a,h(x)=
1
3
f′(x)+(2a+
1
3
)x-
8
3
a+1

∴h(x)=ax2+(2a+1)x+(1-3a),x∈(-1,b],(b>-1),
当-1<x≤b时,令ax2+(2a+1)x+(1-3a)≥0,…①,
由a∈(-∞,-1],∴h(x)的图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,…(11分)
又h(-1)=-4a>0,
∴不等式①恒成立的充要条件是h(b)≥0,即ab2+(2a+1)b+(1-3a)≥0,
∵b>-1,∴b+1>0,且a<0,∴
b2+2b-3
b+1
≤-
1
a

依题意这一关于a的不等式在区间(-∞,-1]上有解,
b2+2b-3
b+1
≤(-
1
a
)max
,即
b2+2b-3
b+1
≤1
,b2+b-4≤0,
-1-
17
2
≤b≤
-1+
17
2
,又b>-1,故-1<b≤
-1+
17
2

从而bmax=
-1+
17
2
.                     …(14分)
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想,属于中档题.
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a-x2
x
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1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
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