Question

【题目】已知函数.

（1）判断并证明函数在上的单调性；

（2）当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）方法一：利用单调性的定义来证明函数在区间上的单调性；

方法二：利用平均变化率的定义得出函数在区间上的平均变化率的正负来得出函数在区间上的单调性；

（2）由（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，可得出该函数在区间上的最大值和最小值，再利用函数的最大值与最小值之差为，可求出实数的值.

（1）函数在上单调递增.证明如下：

方法一：，且，又，

则.

因为，所以，，，

所以，即.

所以函数在上单调递增；

方法二：，，设，.

又因为、，所以，，故，

因此，函数在上单调递增；

（2）由（1）知函数在上单调递增，

此时函数的最大值为，最小值为，

所以，即，解得.