Question

过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是

(x-1)2+

9

4

y2=1

．

Answer 1

分析：设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可．

解答：解：设N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

9

+

y12

4

=1①，

x22

9

+

y22

4

=1②
①-②，可得：

(x1-x2)x

9

+

(y1-y2)y

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

4x

9y

∵动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，
当M、N不重合时，有kAB=

y

x-2

∴

y

x-2

=-

4x

9y

∴

9

4

y2=-x(x-2)
∴(x-1)2+

9

4

y2=1，（m≠2）
当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程(x-1)2+

9

4

y2=1，
则N的轨迹方程为(x-1)2+

9

4

y2=1，
故答案为：(x-1)2+

9

4

y2=1

点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．