Question

（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x²=4y是否相切？说明理由。

Answer 1

本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。

解法一：

（I）依题意，点P的坐标为（0，m）

因为，所以，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）

从而圆的半径

故所求圆的方程为

（II）因为直线的方程为

所以直线的方程为

由

（1）当时，直线与抛物线C相切

（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。

综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；

当时，直线与抛物线C不相切。

解法二：

（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为

依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），

则

解得

所以所求圆的方程为

（II）同解法一。