Question

【题目】若无穷数列满足：，且对任意正整数，都为中等于的项的个数，则称数列为“数列”.

（1）请列举出三个数列，每个数列只写出其前5项；

（2）若数列为一个数列，证明：，都有；

（3）若数列为一个数列，求集合中元素个数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）证明见解析；（3）1010.

【解析】

（1）根据X数列的定义进行求解即可

（2）根据数列{an}为一个X数列，讨论n是奇数和偶数，分别进行证明即可

（3）根据数列{an}为一个X数列，结合不等式以及集合元素的关系进行求解即可

（1）；； .

（2）由题意可知在中，值为的相邻项至多相邻两项，且至多出现一次.

①当为奇数时，这组数中，至多有1组数均为,

所以此时.

②当为偶数时，若，已知，所以显然成立 ，

若，当，则依次为；当，则依次为

所以中必有两项为1，且相邻，

所以这组数中，

若，则这组数中，每组至多有一项等于，

又中有两项等于，所以此时，

若，则这组数中，至多有一组全等于，

又中至多有一项等于，此时，

综上，，都有.

（3）由（2）可知，，，

又由题意可知，所以，且，，

所以，

所以集合中元素个数不大于10101 ，

易知当时，数列的前2018项为.

此时中元素个数等于1010，

所以若数列为一个数列，则集合中元素个数最大值为1010.