Question

2．已知$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是非零向量，f（x）=$（\overrightarrow{a}x-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{b}x-\overrightarrow{a}）$．
①若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，证明f（x）为奇函数
②若f（0）=3，f（x+2）=f（2-x），求|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 ①化简$f（x）=（{\overrightarrow ax-\overrightarrow b}）（{\overrightarrow bx-\overrightarrow a}）=\overrightarrow a•\overrightarrow b{x^2}-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x+\overrightarrow a•\overrightarrow b$，从而可得$f（x）=-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x$，从而证明；
②由题意得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，-$\frac{-（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}）}{2•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=2，从而解得．

解答 解：①∵$f（x）=（{\overrightarrow ax-\overrightarrow b}）（{\overrightarrow bx-\overrightarrow a}）=\overrightarrow a•\overrightarrow b{x^2}-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x+\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
又∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$f（x）=-（{{{\overrightarrow a}^2}+{{\overrightarrow b}^2}}）x$，
故f（-x）=-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数．
②∵f（0）=3，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
∵f（x+2）=f（2-x），
∴函数f（x）的图象关于x=2对称，
故-$\frac{-（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}）}{2•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=2，

故${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=12，
故|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积的应用及函数的性质的判断与应用．