Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝2，∠ABC＝90°AB＝1；点D、E分别在上，且B₁E⊥A₁D，四棱锥C－ABDA₁与直三棱柱的体积之比为3∶5．■

(1)求异面直线DE与B₁C₁的距离；

(2)若BC＝，求二面角A₁－DC₁－B₁的平面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)因，且，故面， 　　从而，又，故是异面直线与的公垂线． 　　设的长度为，则四棱椎的体积为 　　． 　　而直三棱柱的体积为． 　　由已知条件，故，解之得． 　　从而． 　　在直角三角形中，， 　　又因， 　　故． 　　(Ⅱ)如答1，过作，垂足为，连接，因，，故面． 　　由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角． 　　在直角中，， 　　又因， 　　故，所以． 　　解法二： 　　(Ⅰ)如答图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 　　，，，则，． 　　设，则， 　　又设，则， 　　从而，即． 　　又，所以是异面直线与的公垂线． 　　下面求点的坐标． 　　设，则． 　　因四棱锥的体积为 　　 　　． 　　而直三棱柱的体积为． 　　由已知条件，故，解得，即． 　　从而，，． 　　接下来再求点的坐标． 　　由，有，即(1) 　　又由得．(2) 　　联立(1)，(2)，解得，，即，得． 　　故． 　　(Ⅱ)由已知，则，从而，过作，垂足为，连接， 　　设，则，因为，故 　　　　　　　　　　　　　　　　① 　　因且得，即 　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　联立①②解得，，即． 　　则，． 　　． 　　又，故，因此为所求二面角的平面角．又，从而，故，为直角三角形，所以．