Question

11．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，则（x-2）²+y²的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，（x-2）²+y²的几何意义为可行域内动点（x，y）与定点P（2，0）距离的平方，然后结合点到直线的距离公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

（x-2）²+y²的几何意义为可行域内动点（x，y）与定点P（2，0）距离的平方．
由图可知，P（2，0）与可行域内动点距离的最小值为d=$\frac{|1×2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴（x-2）²+y²的最小值等于${d}^{2}=（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．