Question

5．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件便知二次函数f（x）的对称轴为x=1，从而可设f（x）=a（x-1）²+1，根据f（0）=3便可得出a=2，这样便可得出f（x）的解析式；
（2）由f（x）的对称轴为x=1便可得出a满足$\left\{\begin{array}{l}{2a＜a+1}\\{2a≥1，或a+1≤1}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由f（0）=f（2）知，f（x）的对称轴为x=1，f（x）的最小值为1；
∴设f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，得a=2；
∴f（x）=2（x-1）²+1；
（2）要使函数f（x）在[2a，a+1]上是单调函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{2a＜a+1}\\{2a≥1，或a+1≤1}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a≥\frac{1}{2}，或a≤0}\end{array}\right.$；
即a≤0，或$\frac{1}{2}≤a＜1$；
∴实数a的取值范围为$（-∞，0]∪[\frac{1}{2}，1）$．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的最小值，以及二次函数的单调性，清楚区间的定义．