Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃+a₆=4，S₅=-5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T₅的值和T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃+a₆=4，S₅=-5．可得2a₁+7d=4，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=-5，解得a₁，d，即可得出．
（2）利用a_n可得T₅．设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=n²-6n．令a_n≤0，解得n≤3．n≤3时，T_n=-S_n．n≥4时，T_n=-a₁-a₂-a₃+a₄+…+a_n=-2S₃+S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₆=4，S₅=-5．
∴2a₁+7d=4，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=-5，
解得a₁=-5，d=2．
∴a_n=-5+2（n-1）=2n-7．
（2）T₅=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₅|=5+3+1+1+3=13．
设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=$\frac{n（-5+2n-7）}{2}$=n²-6n．
令a_n≤0，解得n≤3．
∴n≤3时，T_n=-a₁-…-a_n=-S_n=-n²+6n．
n≥4时，T_n=-a₁-a₂-a₃+a₄+…+a_n=-2S₃+S_n=n²-6n-2×（-9）=n²-6n+18．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+6n，n≤3}\\{{n}^{2}-6n+18，n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．