Question

设函数f（x）=x²-2lnx，
（I）求f（x）的最小值；
（II）若f（x）≥2tx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导数，求出函数的极值，并将它与函数端点函数值进行比较即可，
（II）要求若f（x）≥2tx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，即转化为2t≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在x∈（0，1]内恒成立，只需求h(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

x∈（0，1]内的最小值即可

解答：解：（I）函数的定义域为（0，+∞）
设f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

当x变化时，f（x），f′（x）值的变化情况如下表：
所以，当x=1时，f（x）_min=1．
（II）由f（x）≥2tx-

1

x2

在x∈（0，1]恒成立
即转化为2t≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在x∈（0，1]内恒成立，
令h(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

h′(x)=

x4-2x2-3+2x2lnx

x4

∵x∈（0，1]，
∴x⁴-3＜0，-2x²＜0，2x²lnx＜0，x⁴＞0，
∴h'（x）＜0得h（x）为（0，1）上的减函数．
∴当x=1时，h(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

有最小值2，得2t≤2，t≤1
故t的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以求函数恒成立问题，属于基础题．