Question

14．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=3|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角余弦值为$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ；
因为$|{\overrightarrow a}|=3|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，
∴|$\overrightarrow{a}$|²=9|$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{{a}^{2}}$$+4\overrightarrow{b}$²$+4\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$；
即4$\overrightarrow{b}$²$+4×|\overrightarrow{a}|$$•|\overrightarrow{b}|$cosθ=0，
|$\overrightarrow{a}$|=$3\overrightarrow{|b|}$，
∴$\overrightarrow{{a}^{2}}$+|$\overrightarrow{a}$|•$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|cosθ=0
cosθ=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义以及计算能力，属于基础题，考察了基本的数学知识的掌握．