Question

1．如图，在长方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，连接B₁C，过B作BE⊥B₁C交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：A₁C⊥平面BED；
（2）求A₁B与平面BDE所成角的余弦值；
（3）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）运用线面垂直的性质和判定，即可得证；
（2）由（1）可得∠BA₁C为A₁B与平面BDE所成角的余角，通过解直角三角形，即可得到所求；
（3）由三棱锥C-BDE的体积即为三棱锥E-BDC的体积，结合体积公式，计算即可得到．

解答 解：（1）证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，
BD⊥AA₁，
即有BD⊥平面AA₁C，
即BD⊥A₁C，
BE⊥B₁C，BE⊥A₁B₁，
即有BE⊥平面A₁B₁C，
即有BE⊥A₁C，
则A₁C⊥平面BED；
（2）由（1）可得A₁C⊥平面BED，
在直角△A₁BC中，BC=3，A₁B=5，A₁C=$\sqrt{34}$，
∠BA₁C为A₁B与平面BDE所成角的余角，
则A₁B与平面BDE所成角的余弦值为$\frac{BC}{{A}_{1}C}$=$\frac{3}{\sqrt{34}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$；
（3）三棱锥C-BDE的体积即为三棱锥E-BDC的体积，
由于EC⊥平面BDC，
在矩形BCC₁B₁中，tan∠EBC•tan∠BCB₁=1，
即有$\frac{EC}{3}$•$\frac{4}{3}$=1，可得EC=$\frac{9}{4}$，
则V_E-BCD=$\frac{1}{3}$•EC•S_△BCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{9}{4}$•$\frac{1}{2}$•3•3=$\frac{27}{8}$．
则三棱锥C-BDE的体积为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和线面所成角的求法，以及三棱锥的体积的求法，考查等积法的运用，属于中档题．