Question

（附加题）已知圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=

π

4

，平面上点G满足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，求点G的轨迹方程．

Answer 1

分析：解法1：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

，知点G即△ABC的重心，圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，易知A（2，0）因为B、C在圆x²+y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由重心坐标公式得轨迹的参数方程，化为普通方程即得点P的轨迹方程．
解法2：由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

根据

GA

+

GB

=2

GO

，以 |

MC

|=|

MA

|，分别得到解析式，联立即可求出顶点C的轨迹E的方程．

解答：解：法1：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

，知点G即△ABC的重心，
圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，
易知A（2，0）因为B、C在圆x²+y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由∠BAC=

π

4

，则∠B0C=

π

2

，
则点C的坐标为(2cos(θ+

π

2

)，2sin(θ+

π

2

))，
由重心坐标公式得轨迹的参数方程：

x= 1 3 (2+2cosθ+2cos(θ+ π 2 )) y= 1 3 (2sinθ+2sin(θ+ π 2 ))

（θ为参数）
即

x= 1 3 (2+2cosθ-2sinθ) y= 1 3 (2sinθ+2cosθ)

化为普通方程是：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

，轨迹为以点(

2

3

，0)为圆心，

2 2

3

为半径的圆．
法2：由∠BAC=

π

4

，则∠B0C=

π

2

，设BC的中点为P，易求得OP=

2

．
故点P的轨迹方程为x²+y²=2，
连接AP，因为点G为△ABC的重心，所以点G为AP的一个三等分点．
由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量与共线向量，向量坐标的运算，以及求点的轨迹方程．通过运用设而不求韦达定理，方便地求出坐标的关系，考查了对知识的综合运用能力，属于中档题．