Question

一袋中装有4n只红球和n只黑球（所有球的形状、大小都相同），每一次从袋中摸出两只球，且每次摸球后均放回袋中．现规定：摸出的两只球颜色不同则为中奖．设三次摸球恰有一次中奖的概率为P，则当n=

5

时，使得P最大．

Answer 1

分析：根据题意，设某一次中奖的概率为q，由古典概型公式和组合数公式可将q用n表示出来，进而由n次独立重复试验恰有k次发生的公式将p用q表示，分析可得q=

1

3

时，p最大；
进而可得

8n

5(5n-1)

=

1

3

，解可得n的值，即可得答案．

解答：解：根据题意，设某一次中奖的概率为q，
在4n只红球和n只黑球任取2只有C_5n²种取法，若摸出的两只球颜色不同即一红一黑有C_4n¹×C_n¹种情况，
则q=

C 1 4n • C 1 n

C 2 5n

=

8n

5(5n-1)

；
若三次摸球恰有一次中奖，
则P=C₃¹q•（1-q）²=3q（1-q）²=

2

3

[（2q）（1-q）（1-q）]，
分析可得，当2q=1-q，即q=

1

3

时，p最大；
若q=

8n

5(5n-1)

=

1

3

，解可得n=5；
即n=5时，p最大；
故答案为5．

点评：本题考查排列、组合的应用，涉及基本不等式的运用，关键是熟练应用概率公式，求出两只球颜色不同的概率以及三次摸球恰有一次中奖的概率．