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设f(x)=xlnx,g(x)=ax3(x∈R).
(1)求f(x)的极值;
(2)设F(x)=f(x)-g(x),讨论函数F(x)的零点个数.
分析:(1)确定函数的定义域,利用导数,确定函数的单调性,从而可求函数的极值;
(2)由于F(x)=x(lnx-ax2),故函数F(x)的零点个数与g(x)=lnx-ax2的零点个数相同,
①a≤0时,令g(x)=0,进行变形lnx=ax2,利用数形结合的方法,即可讨论得到函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的个数;
②a>0时,求出函数的导函数,判断函数g(x)的极大值,然后推出函数的零点的个数.
解答:解:(1)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得f′(x)=lnx+1
令f′(x)≥0,得lnx≥-1=lne-1,x≥lne-1=
1
e

令f′(x)≤0,得x∈(0,
1
e
].
∴f(x)的单调递增区间是[
1
e
,+∞),单调递减区间是(0,
1
e
].
∴函数的极小值为f(
1
e
)=-
1
e
,f(x)无极大值;
(2)由于f(x)=xlnx,g(x)=ax3,则F(x)=xlnx-ax3=x(lnx-ax2),
故函数F(x)的零点个数与g(x)=lnx-ax2的零点个数相同,
①当a≤0时,令g(x)=lnx-ax2=0,则lnx=ax2
如图示,曲线y=ax2与y=lnx的图象有且只有一个交点,即一个零点;
②当a>0时,函数g(x)=lnx-ax2的定义域为(0,+∞),
g′(x)=
1
x
-2ax
=
1-2ax2
x

当x∈(0,
1
2a
)时,g′(x)>0,函数是增函数;
当x∈(
1
2a
,+∞)时,g′(x)<0,函数是减函数.
由于g(
1
2a
)=
1
2
ln
1
2a
-
1
4a
=0,解得a=t0
2
11

所以当a>t0时,g(
1
2a
)<0,此时函数f(x)零点的个数为0;
当a=t0时,此时g(
1
2a
)=0,此时函数f(x)零点的个数为1;
当,g(
1
2a
)>0,此时函数f(x)零点的个数为2.
综上可知,当a≤0或a=t0时,f(x)有且仅有一个零点;
当0<a<t0时,f(x)有两个零点;
当a>t0时,f(x)无零点.
点评:本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查学生的运算能力,综合性较强,中等难度.
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13、设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=
e

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  (文科做)求函数y=log0.1(g2(x))的单调区间;
(3)(理科做)证明:f(x)≥gt(x)对任意实数t恒成立.

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