Question

17．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₅+a₉=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$，利用分组求和法、等比数列前n项和公式和错位相减法能求出数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}满足a₂=0，a₅+a₉=-10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+4d+{a}_{1}+8d=-10}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=-1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×（-1）=2-n．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和：
T_n=（$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$）
设S_n=$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$，
B_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{B}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴B_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、分组求和法及错位相减法的合理运用．