Question

（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求an表达式；
（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2<1．

Answer 1

【解】（1）∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2）
Sn≠0，∴－=2，又==2，∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（1）=2+（n－1）2=2n，∴Sn=
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－
n=1时，a1=S1=，∴an=
（3）由（2）知bn=2（1－n）an=
∴b22+b32+…+bn2=++…+<++…+
=（1－）+（－）+…+（－）=1－<1．

略