Question

双曲线C与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦点，直线y=

3

x为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，且λ1+λ2=-

8

3

时，求Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c，再利用直线y=

3

x为C的一条渐近线，求出a和b的关系进而求出双曲线C的方程；
（2）先把直线l的方程以及A、B两点的坐标设出来，利用

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，找到λ₁和λ₂与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及λ1+λ2=-

8

3

，求出直线l的斜率k进而求出Q点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
由椭圆

x2

8

+

y2

4

=1
求得两焦点为（-2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2，又y=

3

x为双曲线C的一条渐近线
∴

b

a

=

3

解得a²=1，b²=3，
∴双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1
（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则Q(-

4

k

，0)
∵

PQ

=λ1

QA

，
∴(-

4

k

，-4)=λ1(x1+

4

k

，y1)．
∴λ1=

- 4 k

x1+ 4 k

=-

4

kx1+4

同理λ₂=-

4

kx2+4

，
所以λ1+λ2=-

4

kx1+4

-

4

kx2+4

=-

8

3

．
即2k²x₁x₂+5k（x₁+x₂）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-

y2

3

=1
消去y得（3-k²）x²-8kx-19=0．
当3-k²=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k²≠0．
由韦达定理有：
x1+x2=

8k

3-k2

x1x2=-

19

3-k2

代入（*）式得k²=4，k=±2
∴所求Q点的坐标为（±2，0）．

点评：本题综合考查了直线与双曲线的位置关系以及向量共线问题．在对圆锥曲线问题的考查上，一般都是出中等难度和高等难度的题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．