Question

（2013•青岛一模）已知点A（2，0），B（0，-2），F（-2，0），设∠AOC=α，α∈[0，2π），其中O为坐标原点．
（Ⅰ）设点C到线段AF所在直线的距离为

3

，且∠AFC=

π

3

，求α和线段AC的大小；
（Ⅱ）设点D为线段OA的中点，若|

OC

|=2，且点C在第二象限内，求M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cosα的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过C作AF的垂线，垂足为E，由条件求得∠FOC=

π

3

，从而求得α，在△AFC中，由余弦定理求得AC的值．
（Ⅱ）由条件求得

DC

、

OB

、

OA

 的坐标，化简 M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cos α的解析式为4cos（2α+

π

3

）+2，再根据α的范围，根据余弦函数的定义域和值域求得M的范围．

解答：解：（Ⅰ）过C作AF的垂线，垂足为E，则CE=

3

 
在直角三角形FCE中，FC=

CE

sin∠CFE

=2，
又OF=2，∠OFC=

π

3

，所以△OFC为正三角形
所以∠FOC=

π

3

，从而α=π-∠FOC=

2π

3

，或α=π+∠FOC=

4π

3

…（4分）
在△AFC中，AC=

AF2+CF2-2AF•CFcos∠AFC

=

42+22-2×2×4× 1 2

=2

3

…（6分）
（Ⅱ）∵A（2，0），点D为线段OA的中点，∴D（1，0）…（7分）
∵|

OC

|=2且点C在第二象限内，
∴C（2cosα，2sinα），α∈(

π

2

，π)…（8分）
从而

DC

=（2cosα-1，2sinα），

BC

=（2cosα，2sinα+2），

OA

=（2，0），

OB

=（ 0，-2）．
则M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cos α=-4

3

sinαcosα+4cos²α 
=-2

3

sin2α+2（1+cos2α）=4cos（2α+

π

3

）+2，…（10分）
因为α∈（

π

2

，π），所以，2 α+

π

3

∈（

4π

3

，

7π

3

），从而-

1

2

＜cos(2α+

π

3

)≤1，
所以M的取值范围为（0，6]．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积，余弦定理以及余弦函数的定义域和值域，属于中档题．