Question

已知函数f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b为实常数）．
（I）讨论函数的单调区间；
（II） 当a＞0时，函数f（x）有三个不同的零点，证明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在区间[1，2]上是减函数，设关于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的两个非零实数根为x₁，x₂．试问是否存在实数m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|对任意满足条件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）解：∵f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
当a=0时，f′（x）=6x≥0，于是f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，x∈（0，a），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（-∞，0）∪（a，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上单调递增；
当a＜0时，x∈（a，0），f′（x）＜0，得f（x）在（0，a）上单调递减；
x∈（-∞，a）∪（0，+∞），f′（x）＞0，得f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上单调递增．
综上所述：当a=0时，f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（-∞，0），（a，+∞），f（x）的减区间为（0，a）；
当a＜0时，f（x）的增区间为（-∞，a），（0，+∞），f（x）的减区间为（a，0）．…（3分）
（II）证明：当a＞0时，由（I）得f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函数，f（x）在（0，a）上是减函数；
则f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a³．
要使f（x）有三个不同的零点，则，即
可得-a＜b＜a³-a．…（8分）
（III）解：由2x³-3ax²+a+b=x³-2ax²+3x+a+b，得x³-ax²-3x=0即x（x²-ax-3）=0，
由题意得x²-ax-3=0有两非零实数根x₁，x₂，则x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，
∴|x₁-x₂|=．
∵f （x）在[1，2]上是减函数，
∴f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a）≤0在[1，2]上恒成立，其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，
∴a≥2．
∴≥4．
假设存在实数m满足条件，则m²+tm+1≤（）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴，解得≤m≤．
∴存在实数m满足条件，此时m∈[，]． …（14分）
分析：（I）求导函数，对参数a进行讨论，利用导数的正负，确定函数的单调区间；
（II）确定f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a³，要使f（x）有三个不同的零点，则，从而得证；
（III）先确定|x₁-x₂|=，并求得其最小值，假设存在实数m满足条件，则m²+tm+1≤（）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，从而可求m的范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的极值与最值，考查恒成立问题，综合性强．