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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0,x∈R},且满足对于任意的x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)当f(4)=1,f(x)在(0,+∞)上是增函数时,若f(x-1)<2,求x的取值范围.
分析:(1)在题中所给函数关系式中取x2=1,化简即可计算出f(1)的值等于0;
(2)令x1=x2=-1,代入题中等式算出f(-1)=0.再令x1=-1且x2=x代入,即可算出f(-x)=f(x),根据函数奇偶性定义可得f(x)在D上为偶函数;
(3)令x1=x2=4,算出f(16)=2.由函数为偶函数,将不等式f(x-1)<2转化成f(|x-1|)<2,结合函数的单调性将问题转化为解不等式0<|x-1|<16,根据绝对值不等式的解法法则即可得到满足条件x的取值范围.
解答:解:(1)取x2=1,得f(x1×1)=f(x1)+f(1),即f(x1)=f(x1)+f(1),解之得f(1)=0;
(2)令x1=x2=-1,得f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1).解之得f(-1)=0
再令x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),
∴f(x)在D上为偶函数…(8分)
(3)由f(4×4)=f(4)+f(4)且f(4)=1,得f(16)=2…(9分)
∵f(x)在D上为偶函数,
∴不等式f(x-1)<2等价于f(|x-1|)<2…(10分)
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由函数的定义域知|x-1|>0
∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1,
即原不等式的解集为(-15,1]∪[1,17)…(12分)
点评:本题给出抽象函数,求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性,并依此解关于x的不等式.着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识,属于中档题.运用“赋值法”进行求值和化简,是解决抽象函数问题的一般方法.
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函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明;
(Ⅲ)若f(2)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,解关于x的不等式f(2x-1)-3≤0.

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12
(3-x)
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11-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
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x
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B、[-3,0)
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