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10.如图四边形ABCD,AB=BD=DA=2.BC=CD=$\sqrt{2}$,现将△ABD沿BD折起,使二面角A-BD-C的大小在[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$],则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是(  )
A.[0,$\frac{\sqrt{2}}{8}$]∪($\frac{5\sqrt{2}}{8}$,1)B.[$\frac{\sqrt{2}}{8}$,$\frac{5\sqrt{2}}{8}$]C.[0,$\frac{\sqrt{2}}{8}$]D.[0,$\frac{5\sqrt{2}}{8}$]

分析 取BD中点O,连结AO,CO,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,过点O作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围.

解答 解:取BD中点O,连结AO,CO,
∵AB=BD=DA=2.BC=CD=$\sqrt{2}$,∴CO⊥BD,AO⊥BD,且CO=1,AO=$\sqrt{3}$,
∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,
以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,
过点O作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
设二面角A-BD-C的平面角为θ,则$θ∈[\frac{π}{6},\frac{5π}{6}]$,
连AO、BO,则∠AOC=θ,A($\sqrt{3}cosθ,0,\sqrt{3}sinθ$),
∴$\overrightarrow{BA}=(\sqrt{3}cosθ,1,\sqrt{3}sinθ)$,$\overrightarrow{CD}=(-1,1,0)$,
设AB、CD的夹角为α,
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{|1-\sqrt{3}cosθ|}{2\sqrt{2}}$,
∵$θ∈[\frac{π}{6},\frac{5π}{6}]$,∴cos$θ∈[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$,∴|1-$\sqrt{3}cosθ$|∈[0,$\frac{5}{2}$].
∴cos$α∈[0,\frac{5\sqrt{2}}{8}]$.
故选:D.

点评 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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