Question

5．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$满足＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=60°，且{|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{c}$|}={1，2，3}，则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{7}+3$
• B． $\sqrt{19}+1$
• C． $\sqrt{13}+2$
• D． $\sqrt{15}+3$

Answer 1

分析 由题意可知，当$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$同向时，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|有最大值，根据向量的数量积的运算得到|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，分别令|$\overrightarrow{c}$|∈{1，2，3}，求出值，再比较大小即可．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$满足＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=60°，当$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$同向时，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|有最大值，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|_max=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|，
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos60°=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
当|$\overrightarrow{c}$|=1时，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=4+9+6=19，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=1+$\sqrt{19}$，
当|$\overrightarrow{c}$|=2时，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=1+9+3=13，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=2+$\sqrt{13}$，
当|$\overrightarrow{c}$|=3时，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=1+4+2=7，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=3+$\sqrt{7}$，
∵3+$\sqrt{7}$＞2+$\sqrt{13}$＞1+$\sqrt{19}$，
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的最大值是3+$\sqrt{7}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的模的运算和向量的数量积的运算，关键得到当$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$同向时，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|有最大值，属于中档题．