Question

【题目】实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证a、b、c、d中至少有一个是负数.

Answer 1

【答案】证明：假设a、b、c、d都是非负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bd)≥ac＋bd ，
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假设错误，
∴a、b、c、d中至少有一个是负数.
【解析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键 “至多”、“至少”型命题的证明方法.解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾. (1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明.在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾.(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾.
【考点精析】利用反证法与放缩法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项②将分子或分母放大（缩小)．