Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MF∥AN，从而证明MF∥平面ABCD．
（2）证明∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角，在Rt△C₁AC中，利用正切函数，即可求解．

解答：（1）证明：延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．
因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点．
又M是线段AC₁的中点，
故MF∥AN．
又MF?平面ABCD内，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（2）解：连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
∵AC₁?ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA．
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．
在Rt△C₁AC中，tan∠CAC₁=

C1C

CA

=

3

3

故∠C₁AC=30°，
∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°．

点评：本题考查证明线面平行、求两个平面所成的角，证明∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角，是解题的难点．