Question

若f（n）为n²+1的各位数字之和（n∈N^*）．如：因为14²+1=197，1+9+7=17，所以f（14）=17．记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₀₆（8）=

5

．

Answer 1

分析：根据题中的对应法则，算出f₁（8）、f₂（8）、f₃（8）、f₄（8）的值，从而发现规律f_k+3（8）=f_k（8）对任意k∈N^*成立，由此即可得到f₂₀₀₆（8）=f₂（8）=5．

解答：解：∵8²+1=65，∴f₁（8）=f（8）=6+5=11，
同理，由11²+1=122得f₂（8）=1+2+2=5；由5²+1=26，得f₃（8）=2+6=8，
可得f₄（8）=6+5=11=f₁（8），f₅（8）=f₂（8），…，
∴f_k+3（8）=f_k（8）对任意k∈N^*成立
又∵2006=3×668+2，
∴f₂₀₀₆（8）=f₂₀₀₃（8）=f₂₀₀₀（8）=…=f₂（8）=5
故答案为：5

点评：本题给出函数f_k（x）的对应法则，求f₂₀₀₆（8）的值．着重考查了函数的定义、数列的递推公式和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．