Question

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（Ⅰ）写出x_n与x_n-1、x_x-2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设a_n=x_n+1-x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

xn．

Answer 1

分析：（I）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，可得x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式，
（II）由题意知a₁=a，a₂=-

1

2

a，a₃=

1

4

a，由此推测：a_n=（-

1

2

）^n-1a（n∈N^*）再进行证明．
（III）首先求出x_n，然后根据（II）知{a_n}是公比为-

1

2

的等比数列，求出结果．

解答：解：（I）当n≥3时，xn=

xn-1+xn-2

2

（II）a₁=x₂-x₁=aa2=x3-x2=

x2+x1

2

-x2=-

1

2

(x2-x1)=-

1

2

aa3=x4-x2=

x3+x2

2

-x3=-

1

2

(x3-x2)=-

1

2

(-

1

2

a)=

1

4

a．
由此推测．an=(-

1

2

)n-1a（n∈N）
因为a₁=a＞0，且  
 an=xn+1-xn=

xn+xn-1

2

-xn=

xn-1-xn

2

=-

1

2

(xn-xn-1)=-

1

2

an-1（n≥2）
所以an=(-

1

2

)n-1a．
（III）解：当n≥3时，有x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁，
由（II）知{a_n}是公比为-

1

2

的等比数列，所以

lim

n→∞

xn=

a1

1-(- 1 2 )

=

2

3

a．

点评：本题考查数列的性质和应用以及数列的极限，解题时要注意公式的灵活运用．属于中档题．