Question

（2006•嘉定区二模）在四面体ABCD中，BD、CD、AD两两互相垂直，且BD=CD=4，E是BC中点，异面直线AB与DE所成角的大小是arccos

2

5

，求四面体ABCD的体积．

Answer 1

分析：建立如图所示坐标系，得A、B、C、D各点的坐标，利用向量数量积的公式结合AD、BE所成角为arccos

2

5

，解出BD的长度，最后运用锥体的体积公式即可算出四面体ABCD的体积．

解答：解：取AC中点F，连结EF、DF，则EF∥AB，
∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角…（2分）
设AD=h，在△DEF中，DE=2

2

，EF=DF=

1

2

h2+16

，…（4分）
则∠DEF=∠EDF，于是∠DEF为锐角，cos∠DEF=

2

5

，…（6分）
cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2•DE•EF

=

8

2•2 2 • 1 2 h2+16

=

2 2

h2+16

=

2

5

解得h=2

21

…（10分）
∴V=

1

3

Sh=

1

3

•

1

2

•4•4•2

21

=

16 21

3

…（12分）

点评：本题给出特殊三棱锥，在已知异面直线所成角的基础之上求锥体的体积．着重考查了利用空间坐标系的方法研究异面直线所成角和锥体的体积公式等知识，属于中档题．