Question

11．若函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax在[$\frac{2}{3}$，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是$（-\frac{1}{9}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为a的表达式，求出最值即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
f′（x）=-x²+x+2a=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+2a．
当x∈[$\frac{2}{3}$，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（$\frac{2}{3}$）=2a+$\frac{2}{9}$，令2a+$\frac{2}{9}$＞0，解得a$＞-\frac{1}{9}$，
所以a的取值范围是$（-\frac{1}{9}，+∞）$．
故答案为：$（-\frac{1}{9}，+∞）$．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．