Question

平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M经过F₁(0，-c)，F₂(0，c)，A(c，0)三点，其中c＞0，
(Ⅰ)求圆M的标准方程（用含c的式子表示）；
(Ⅱ)已知椭圆（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D，B，圆M与x轴的两个交点分别为A，C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧，
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A，B，M，O，C，D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得，解得，
⊙M的方程为，
⊙M的标准方程为。
(Ⅱ)①⊙M与x轴的两个交点，
又B（b，0），D（-b，0），
由题设，即，
所以，
解得，即，
所以椭圆离心率的取值范围是。
②由(Ⅰ)，得，
由题设，得，
∴，
∴直线MF₁的方程为，①
直线DF₂的方程为，②
由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点，
易知为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线上。