Question

【题目】设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+3）=0，且当﹣1＜x≤1时，f（x）=2x﹣3．
（1）求f（x）的周期；
（2）求当2＜x≤4时，f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=﹣f（x）

所以f（x﹣3）+f（x）=0，

∴f（x﹣3）=﹣f（x），

∴f（x+3）=f（x﹣3），

∴f[（x﹣3）+6]=f（x﹣3），

所以周期为6．

（2）解：∵当﹣1＜x≤1时，f（x）=2x﹣3，

∴当﹣1≤x≤1时f（x+3）=﹣f（x）=﹣2x+3，

设x+3=t，则由﹣1＜x≤1得2＜t≤4，又x=t﹣3，

于是f（t）=﹣2（t﹣3）+3=﹣2t+9，

故当2＜x≤4时，

f（x）=﹣2x+9．

【解析】（1）利用已知条件，转化为周期的定义，求解即可．（2）利用已知条件，求出﹣1≤x≤1时，f（x+3）=﹣2x+3，设x+3=t，转化求解即可．