Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，

故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；

（2）解：由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．

故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．

当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．

当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得 ， ．

所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

所以函数f（x）的极大值 ，极小值 ．

故f（x1）+f（x2）=2＞0， ．

从而f（x1）＞|f（x2）|．

所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．

当0＜a＜ 时，f（0）＞|f（2）|．

又 =

故 ．

当 时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．

又 = ．

所以当 时，f（x1）＞|f（2）|．

故 ．

当 时，f（x1）≤|f（2）|．

故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．

综上所述|f（x）|max= ．

【解析】（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况求|f（x）|的最大值．特别当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．