Question

【题目】设函数，

（I）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的范围；

（III）证明不等式.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由导函数研究函数的单调性可得；

(Ⅱ)利用题意讨论函数的单调性，结合函数零点存在定理可得实数的范围是；

(Ⅲ)设函数结合函数的性质构造新函数，综合(Ⅰ)(Ⅱ)的结论即可证得题意不等式的结论.

试题解析：

（I）

（II）

若上递增，且，所以在

上没有零点

若

所以

当时，极值点，又，在无零点

当时，极值点

，在上递减，

，在上递增

所以，所以在上有零点

所以，的取值范围是 .

（III）证明：设函数

(1)当，在上递减

(2)当时，设

即当时，，在上递增，

由（1）（2）知，

即.