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    【题目】设函数，

    （I）当时，求函数的最小值；

    （Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的范围；

    （III）证明不等式.

    【答案】（I）；（II）；（III）见解析.

    【解析】试题分析：

    (Ⅰ)由导函数研究函数的单调性可得；

    (Ⅱ)利用题意讨论函数的单调性，结合函数零点存在定理可得实数的范围是；

    (Ⅲ)设函数结合函数的性质构造新函数，综合(Ⅰ)(Ⅱ)的结论即可证得题意不等式的结论.

    试题解析：

    （I）

    （II）

    若上递增，且，所以在

    上没有零点

    若

    所以

    当时，极值点，又，在无零点

    当时，极值点

    ，在上递减，

    ，在上递增

    所以，所以在上有零点

    所以，的取值范围是 .

    （III）证明：设函数

    (1)当，在上递减

    (2)当时，设

    即当时，，在上递增，

    由（1）（2）知，

    即.

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