Question

在△ABC中，a，b，c表示角A，B，C的对边，且P=

a+b+c

2

．
求证：
（1）S_△ABC=

p(p-a)(p-b)(p-c)

；
（2）△ABC中，内切圆的半径为r，则r=

(p-a)(p-c)(p-b) p

．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理与三角形的面积公式，直接通过因式分解，用三角公式和公式变形来证明．
（2）通过三角形的面积公式直接求出内接圆的半径．

解答：解：（1）因为三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，由余弦定理得，
 cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
S=

1

2

absinC
=

1

2

ab

1-cos2C

=

1

2

ab

1-( a2+b2-c2 2ab )2

=

1

4

4a2b2-(a2+b2-c2)2

1

4

(2ab+ a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

1

4

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+c+b)

设p=

1

2

（a+b+c）
则p-a=

1

2

（-a+b+c），p-b=

1

2

（a-b+c），p-c=

1

2

（a+b-c），
上式=

1 16 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+c+b)

=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，
所以，三角形ABC面积S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

．
（2）△ABC中，内切圆的半径为r，则

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=S_△ABC=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，

1

2

r(a+b+c)=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，
即rp=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，
所以r=

(p-a)(p-c)(p-b) p

．

点评：本题考查三角形的面积公式的证明，内切圆的半径的求法，考查计算能力．