Question

（2011•武汉模拟）过抛物线y²=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则

OA

•

OB

=

-3

．

Answer 1

分析：由抛物线y²=4x与过其焦点（ 1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（ 1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 x1+x2=

2k2+ 4

k2

，x1•x2=1，y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=1+k2(2-

2k2+4

k2

) =-3，
故答案为：-3．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，关键是利用

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，进而得解．