Question

已知向量

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)．若△ABC为直角三角形，求k值，此时|

BC

|等于多少．

Answer 1

分析：由题意，△ABC为直角三角形，本题可分三种情形，即A是直角，B是直角或C是直角，由向量垂直的坐标表示分别求出k的值及对应的|

BC

|的值即可

解答：解：由题意，△ABC为直角三角形，本题可分三种情形，即A是直角，B是直角或C是直角
①若角A是直角，则有

AC

•

AB

=0，
又

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)，
可得2-k-k=0，解得k=1，
故有

AB

=(1，-1)，

AC

=(1，1)，
∴

BC

=

AC

-

AB

=（0，-2），可得|

BC

|=2
②若角B是直角，则有

BC

•

AB

=0，
又

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)，
∴

BC

=

AC

-

AB

=（k-1，k+1）
可得（2-k）（k-1）-（k+1）=0，整理得k²-2k+3=0此方程无解，
③若角C是直角，则有

AC

•

CB

=0
即k²+2k-1=0，解得k=-1±

2

，
∴

BC

=（-2±

2

，±

2

）
|

BC

|=2

2± 2

点评：本题考点向量在几何中的运用，考查了利用向量求线段的长度，及向量垂直的坐标表示，解题的关键是理解题意，分三类研究，本题考察了分类讨论的思想及转化的思想，考察了推理判断的能力及符号计算能力