Question

15．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n，其前n项和为S_n，数列{b_n}满足b₁=1，b_nb_n+1+2ⁿb_n+1-2ⁿ⁺¹b_n=0（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=S_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）两边同除以b_nb_n+1，由等差数列的定义和通项公式，计算即可得到；
（2）求得c_n，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到．

解答 解：（1）b_nb_n+1+2ⁿb_n+1-2ⁿ⁺¹b_n=0，
即有1+$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n+1}}$=0，
即为$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$=1，
即数列{$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$}为首项为2，公差为1的等差数列，
即有$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，即有b_n=$\frac{{2}^{n}}{n+1}$；
（2）c_n=S_nb_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）•$\frac{{2}^{n}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$n•2ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），①
2T_n=$\frac{1}{2}$（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹）②
①-②，得：-T_n=$\frac{1}{2}$（2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹），
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．