Question

1．若命题ρ：$\sqrt{1-sin2x}$=sinx-cosx为真，求x的取值范围．

Answer 1

分析 若命题ρ：$\sqrt{1-sin2x}$=sinx-cosx为真，则sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≥0，解三角不等式可得x的取值范围．

解答 解：若$\sqrt{1-sin2x}$=$\sqrt{{{sin}^{2}x-2sinx•cosx+cos}^{2}x}$=$\sqrt{{（sinx-cosx）}^{2}}$=|sinx-cosx|=sinx-cosx，
则sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≥0，
则x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ，π+2kπ]，（k∈Z），
∴x∈[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，（k∈Z）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二倍角公式，指数的运算性质，和差角公式，三角函数的定义，难度中档．