Question

已知向量

a

=（

3

，sinθ）与

b

=（1，cosθ）互相平行，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）求f（x）=sin（2x+θ）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据

a

∥

b

，求出tanθ的值，结合θ∈（0，

π

2

），求出sinθ与cosθ的值；
（2）利用三角函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期与单调递增区间．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴sinθ•1-

3

•cosθ=0，
∴tanθ=

3

；
又∵θ∈（0，

π

2

），
∴θ=

π

3

，
∴sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

；

（2）∵f（x）=sin（2x+θ）=sin（2x+

π

3

），
∴最小正周期为T=π；       
又∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z；
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z； 
∴f（x）的单调递增区间是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．