Question

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是

1

3

，每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（1）求该学生考上大学的概率；
（2）如果考上大学或参加完5次考试就结束，求该生至少参加四次考试的概率．

Answer 1

分析：（1）记“该生考上大学”的事件为A，其对立事件为

.

A

，直接求P（A）比较困难，于是通过求1-P（

.

A

）来得到P（A）的值．
（2）记“该生参加测试的次数”为ξ，求出P（ξ=4）和P（ξ=5）的值，相加即得所求．

解答：解：（1）记“该生考上大学”的事件为A，其对立事件为

.

A

，
则P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

112

243

，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．…（6分）
（2）记“该生参加测试的次数”为ξ，则ξ=4说明前3次考试只通过了1次，而第4次通过了，或前4次都没有通过，
故 P(ξ=4)=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2(

1

3

)+(

2

3

)4=

4

27

+

16

81

=

28

81

，
ξ=5说明前4次考试只通过了1次，，故 P(ξ=5)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
∴该生至少参加四次考试的概率P=

28

81

+

32

81

=

20

27

．…（12分）

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．