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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
1
2
,一条准线方程为x=4.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M,设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值.
分析:(1)由题意可得得
c
a
=
1
2
a2
c
=4
a2=b2+c2
,解出即可;
(2)设P(x0,y0)(y0≠0),即可得出直线AP的方程,令x=2,即可得到点M的坐标,利用斜率计算公式即可得出k1,k2,再利用点P在椭圆上即可证明.
解答:解:(1)由题意得
c
a
=
1
2
a2
c
=4
a2=b2+c2
,解得
a2=4
b2=3
∴椭圆E的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设P(x0,y0)(y0≠0),
则直线AP的方程为:y=
y0
x0+2
(x+2)
令x=2得M(2,
4y0
x0+2

∴k1=
2y0
x0+2

∵k2=
y0
x0-2

∴k1k2=
2
y
2
0
x
2
0
-4

∵P(x0,y0)在椭圆上,∴
x02
4
+
y02
3
=1
∴k1k2═-
3
2
为定值.
点评:熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的斜率公式等是解题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
2
的圆C经过坐标原点O,椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)若F为椭圆的右焦点,点P在圆C上,且满足PF=4,求点P的坐标.

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3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1
的离心率为
1
2
,则m的值为
4
4

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(2013•泰州三模)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•东莞一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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