已知抛物线C:x2=2py关于直线l:x-y-2=0对称.中心在坐标原点的椭圆经过两点M(1.72).N(-2.62).且抛物线与椭圆交于两点A(xA.yA)和B(xB.yB).且xA＜xB．(1)求出抛物线方程与椭圆的标准方程,(2)若直线l′与抛物线相切于点A.试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积,中直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-2425=0恒有公共点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，

），N（-

，

），且抛物线与椭圆交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-

=0恒有公共点，试求m的取值范围．

分析：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，因为椭圆经过两点M（1，

），N（-

，

），所以可得

n=1，①

2m+

n=1．②

由①与②消去m可得n=

，由此能求出抛物线方程与椭圆的标准方程．
（2）由

x2=4y

得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），当y=1时，得x=±2，因为x_A＜x_B，所以A（-2，1），对y=

x²求导，得y′=

x，所以直线l′的方程为x+y+1=0，由此能求出直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-

=0得（x-m）²+（y+1）²=

，其圆心坐标为（m，-1），半径r=

，要使直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-

=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤

，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，
因为椭圆经过两点M（1，

），N（-

，

），
所以可得

n=1，①

2m+

n=1．②

由①与②消去m可得n=

，③
将③代入①得m=

，
故所求椭圆的标准方程为

=1．
抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，

），依题意得直线FP与直线l：x-y-2=0互相垂直，所以直线FP的斜率为-1，则k_FP=

-1-

2-0

=-1，解得p=2，所以x²=4y．
（2）由

x2=4y

得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），
当y=1时，得x=±2，因为x_A＜x_B，所以A（-2，1），对y=

x²求导，得y′=

x，所以y′|_x=-2=-1，所以直线l′的方程为y-1=-1×（x+2），即x+y+1=0，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，所以直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积为S=

×|-1|×|-1|=

．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-

=0得（x-m）²+（y+1）²=

，其圆心坐标为（m，-1），半径r=

，
要使直线l′与圆x²-2mx+y²+2y+m²-

=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤

，即d=

|m-1+1|

1+1

≤

，得-

≤m≤

，
即m的取值范围为[-

，

]．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．

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