Question

如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（2）证明BD∥面PEC．

Answer 1

分析：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，易证CD⊥AF，PD⊥AF，根据线面垂直的判定定理可证得AF⊥面PCD；
（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连接MN，可证得EM∥BN，又EM?面PEC，根据线面平行的判定定理可得BD∥面PEC．

解答：解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，
PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD，F为PD的中点，
∴PD⊥AF，
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，
∴CD⊥面ADP，
∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．
（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连接MN，
∴MN=

1

2

PA，MN∥PA，
∴MN=EB，MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，
∴EM∥BN，又EM?面PEC，∴BD∥面PEC．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．