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    已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
    aj
    ai
    两数中至少有一个属于A．
    （I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
    （Ⅱ）证明：a1=1，且
    a1+a2+…+an
    a
    -1
    1
    +
    a
    -1
    2
    +…+
    a
    -1
    n
    =an    ；
    （Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．
    分析：（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
    aj
    ai
    两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
    （Ⅱ）由性质P，知anan＞an，故anan∉A，从而1=
    an
    an
    ∈A，a1=1．再验证又∵
    an
    an
    ＜
    an
    an-1
    ＜…＜
    an
    a2
    ＜
    an
    a1
    ，
    an
    an
    =1    ，
    an
    an-1
    =a2    ，…，
    an
    a2
    =an-1    ，从而
    an
    an
    +
    an
    an-1
    +…+
    an
    a2
    +
    an
    a1
    =a1+a2+…+an，命题得证；
    （Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明
    a5
    a4
    =
    a4
    a3
    =
    a3
    a2
    =
    a2
    a1
    =a2    即可．
    解答：解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，
    ∴该数集不具有性质P．
    由于1×2，1×3，1×6，2×3，
    6
    2
    ，
    6
    3
    ，
    1
    1
    ，
    2
    2
    ，
    3
    3
    ，都属于数集{1，2，3，6，
    ∴该数集具有性质P．
    （Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，
    ∴anan与
    an
    an
    中至少有一个属于A，
    由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an
    故anan∉A．
    从而1=
    an
    an
    ∈A，a1=1．
    ∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n），
    故akan∉A（k=2，3，4，…，n）．
    由A具有性质P可知
    an
    ak
    ∈A（k=2，3，4，…，n）．
    又∵
    an
    an
    ＜
    an
    an-1
    ＜…＜
    an
    a2
    ＜
    an
    a1
    ，
    ∴
    an
    an
    =1    ，
    an
    an-1
    =a2    ，…，
    an
    a2
    =an-1    ，
    从而
    an
    an
    +
    an
    an-1
    +…+
    an
    a2
    +
    an
    a1
    =a1+a2+…+an，
    ∴且
    a1+a2+…+an
    a
    -1
    1
    +
    a
    -1
    2
    +…+
    a
    -1
    n
    =an    ；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，
    有
    a5
    a4
    =a2    ，
    a5
    a3
    =a3    ，即a5=a2•a4=a32，
    ∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，
    由A具有性质P可知
    a4
    a3
    ∈A．
    由a2•a4=a32，得
    a3
    a2
    = 
    a4
    a3
    ∈A，
    且1＜
    a3
    a2
    =a2    ，∴
    a3
    a2
    =
    a4
    a3
    =a2    ，
    ∴
    a5
    a4
    =
    a4
    a3
    =
    a3
    a2
    =
    a2
    a1
    =a2    ，
    即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列．
    点评：本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．
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    已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
    ajai
    两数中至少有一个属于A．
    （1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
    （2）求a1的值；当n=3时，数列a1，a2，a3是否成等比数列，试说明理由；
    （3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a1，a2，…，an的一个真命题，并加以证明．

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    已知数集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若对?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
    （Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
    （Ⅱ）已知数集A={a1，a2…a8}具有性质P，判断数列a1，a2…a8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
    （Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
    （Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；
    （Ⅲ）若an=72，求n的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数集A={a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个属于A．
    （1）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
    （2）求证：a1+a2+…+an=
    n2
    an；
    （3）已知数集A={a1，a2…，a8}具有性质P．证明：数列a1，a2，a8是等差数列．

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