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已知an=logn+1(n+2)(n∈N*)我们把使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n叫做“成功数”,则在区间(1,2012)内的所有成功数的和为(  )
分析:由题意可得,a1•a2…an=log23•log34…logn+1(n+2)=
lg3
lg2
lg4
lg3
lg5
lg4
lg(n+2)
lg(n+1)
=log2(n+2)
,若使log2(n+2)为整数,则n+2=2k(k∈Z),则在(1,2012)内的所有整数可求,进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求得结果.
解答:解:∵an=logn+1(n+2),
∴a1•a2…an=log23•log34…logn+1(n+2)
=
lg3
lg2
lg4
lg3
lg5
lg4
lg(n+2)
lg(n+1)
=log2(n+2)

若使log2(n+2)为整数,则n+2=2k(k∈Z),
则在(1,2012)内的所有整数分别为:22-2,23-2,…,210-2.
∴所求的“成功数”的和为:
22-2+23-2+…+210-2
=(22+23+24+…+210)-2×9
=
4(1-29)
1-2
-2×9
=2026.
故选C.
点评:本题以新定义“成功数”为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用,属于中档试题.
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已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列运算a1•a2=log23•log34=
lg3
lg2
lg4
lg3
=2,
a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•log78=
lg3
lg2
lg4
lg3
•…•
lg7
lg6
lg8
lg7
=3.

定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k(k∈N*)叫做企盼数.试确定当a1•a2•a3•…•ak=2008时,企盼数k=
 

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lg3
lg2
lg4
lg3
=2,
a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log67•log78=
lg3
lg2
lg4
lg3
•…•
lg7
lg6
lg8
lg7
=3.

定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k(k∈N*)叫做企盼数.试确定当a1•a2•a3•…•ak=2008时,企盼数k=______.

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已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列运算a1•a2=log23•log34==2,
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定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的k(k∈N*)叫做企盼数.试确定当a1•a2•a3•…•ak=2008时,企盼数k=   

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