Question

已知椭C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，椭圆的短轴端点与双曲线

y2

2

-x2=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由双曲线

y2

2

-x2=1得焦点(0，±

3

)，得b=

3

．又e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，联立解得即可；
（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），与椭圆方程联立得到，（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，由△＞0得k2＜

1

4

．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，进而得到取值范围．

解答：解：（I）由双曲线

y2

2

-x2=1得焦点(0，±

3

)，得b=

3

．
又e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，联立解得a²=4，c=1．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），联立

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得k2＜

1

4

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

，
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(1+k2)•

64k2-12

4k2+3

-4k2•

32k2

4k2+3

+16k2=25-

87

4k2+3

，
∵0≤k2＜

1

4

，∴-

87

3

≤

87

4k2+3

＜-

87

4

，
∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

)．
故

OA

•

OB

的取值范围为[-4，

13

4

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到判别式△＞0即根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能，属于难题．