Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=lnx-ax²+x，a∈R，∴f′（x）=-ax+1=（x＞0），
∴当a=0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由于x＞0，故-ax²＞0，于是-ax²+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜，即f（x）在（0，）上单调递增；
由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上单调递减；
（2）由（1）可知，当a＞0，x=时函数取到极大值，此时
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0
∴f（x）=0有两个不等的根
即有两个不等的根
即有两个不等的根
构造函数y=lnx与，则两个图象有两个不同的交点
∵y=lnx过（1，0），的对称轴为直线，顶点坐标为
∴，解得a＜2
∴0＜a＜2
分析：（1）由f（x）=lnx-ax²+x，可求得f′（x）=，然后对a分a=0，a＞0，与a＜0分类讨论，利用f′（x）＞0，与f′（x）＜0可得其递增区间与递减区间；
（2）由（1）可知，当a＞0，函数取到极大值，此时f（x）=0有两个不等的根，即有两个不等的根构造函数y=lnx与，则两个图象有两个不同的交点，从而可求a的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．