Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer 1

分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；
（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；
（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为-1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．

解答：解：（1）由题设知，a=2，b=

2

，
故M（-2，0），N（0，-

2

），所以线段MN中点坐标为（-1，-

2

2

）．
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，
所以k=

2

2

．
（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得

x2

4

+

4x2

2

=1，解得x=±

2

3

，
因此P（

2

3

，

4

3

），A（-

2

3

，-

4

3

）
于是C（

2

3

，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x-y-

2

3

=0．
因此，d=

| 2 3 - 4 3 - 2 3 |

1+1

=

2 2

3

．
（3）设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
A（-x₁，-y₁），C（x₁，0）．
设直线PB，AB的斜率分别为k₁，k₂．
因为C在直线AB上，所以k₂=

0-(-y1)

x1-(-x1)

=

y1

2x1

=

k

2

，
从而kk₁+1=2k₁k₂+1=2•

y2-y1

x2- x1

•

y2-(-y1)

x2-(-x1)

+1=

2 y 2 2 -2 y 2 1

x 2 2 - x 2 1

+1
=

x 2 2 +2 y 2 2 -( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

=

4-4

x22-x12

=0．
因此kk₁=-1，所以PA⊥PB．

点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．