Question

已知△ABC的面积S满足3≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6，

AB

与

BC

的夹角为α．
（1）求α的取值范围；
（2）若函数f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值时的α．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，求出tanα的范围，从而求出α的取值范围．
（2）由二倍角的三角函数公式及同角三角函数的基本关系，把f（α）化为2+

2

sin（2α+

π

4

），由α的范围得到2α+

π

4

的范围，进而得到2+

2

sin（2α+

π

4

）的最小值．

解答：解：（1）由题意知

AB

•

BC

=6=|

AB

|•|

BC

|cosα  ①，
S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|sin（π-α）=

1

2

|

AB

|•|

BC

|sinα  ②，
由②÷①得

s

6

=

1

2

tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3

3

，得3≤3tanα≤3

3

，即 1≤tanα≤

3

，
又α为

AB

与

BC

的夹角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[

π

4

，

π

3

]．
（2）f（α）=sin²α+2sinαcos+3cos²α=1+sin2α+2cos²α?
∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+

2

sin（2α+

π

4

），
∵α∈〔

π

4

，

π

3

〕，∴2α+

π

4

∈〔

3π

4

，

11π

12

〕，
∴当 2α+

π

4

=

11π

12

，即α=

π

3

时，f（α）min=

3+ 3

2

．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，二倍角的三角公式的应用以及由角的范围确定三角函数值的范围的方法．